Area Mathematics - General concepts and linear algebra / Vectors and tensors

IEV ref 102-03-16

en
bilinear form
function f that attributes a scalar $f\left(U\text{,}\text{\hspace{0.17em}}V\right)$ to any pair of vectors U and V in a given vector space, with the following properties:

• $f\left(\alpha \text{\hspace{0.17em}}U,\text{\hspace{0.17em}}V\right)=\alpha \text{\hspace{0.17em}}f\left(U,\text{\hspace{0.17em}}V\right)$ and $f\left(U,\text{\hspace{0.17em}}\beta \text{\hspace{0.17em}}V\right)=\beta \text{\hspace{0.17em}}f\left(U,\text{\hspace{0.17em}}V\right)$ where α and β are scalars,
• $f\left(U+V,\text{\hspace{0.17em}}W\right)=f\left(U,\text{\hspace{0.17em}}W\right)+f\left(V,\text{\hspace{0.17em}}W\right)$ and $f\left(W,\text{\hspace{0.17em}}U+V\right)=f\left(W,\text{\hspace{0.17em}}U\right)+f\left(W,\text{\hspace{0.17em}}V\right)$ for any vector W existing in the same vector space

Note 1 to entry: A bilinear form over an n-dimensional vector space can be represented by a square matrix $\left({k}_{ij}\right)$ and the scalar is $f\left(U\text{,}\text{\hspace{0.17em}}V\right)=\sum _{ij}{k}_{ij}{U}_{i}{V}_{j}$.

Note 2 to entry: The bilinear forms over a given n-dimensional vector space constitute an ${n}^{2}$-dimensional vector space.

Note 3 to entry: The concept of bilinear form extends to "linear form" in the case of one vector and to "multilinear form" (or m-linear form) in the case of an ordered set of m vectors.

fr
forme bilinéaire, f
fonction f qui attribue un scalaire $f\left(U\text{,}\text{\hspace{0.17em}}V\right)$ à tout couple de vecteurs U et V dans un espace vectoriel donné, avec les propriétés suivantes:

• $f\left(\alpha \text{\hspace{0.17em}}U,\text{\hspace{0.17em}}V\right)=\alpha \text{\hspace{0.17em}}f\left(U,\text{\hspace{0.17em}}V\right)$ et $f\left(U,\text{\hspace{0.17em}}\beta \text{\hspace{0.17em}}V\right)=\beta \text{\hspace{0.17em}}f\left(U,\text{\hspace{0.17em}}V\right)$α et β sont des scalaires,
• $f\left(U+V,\text{\hspace{0.17em}}W\right)=f\left(U,\text{\hspace{0.17em}}W\right)+f\left(V,\text{\hspace{0.17em}}W\right)$ et $f\left(W,\text{\hspace{0.17em}}U+V\right)=f\left(W,\text{\hspace{0.17em}}U\right)+f\left(W,\text{\hspace{0.17em}}V\right)$ pour tout vecteur W du même espace vectoriel

Note 1 à l'article: Une forme bilinéaire sur un espace vectoriel à n dimensions peut être représentée par une matrice carrée $\left({k}_{ij}\right)$ et le scalaire est $f\left(U\text{,}\text{\hspace{0.17em}}V\right)=\sum _{ij}{k}_{ij}{U}_{i}{V}_{j}$.

Note 2 à l'article: Les formes bilinéaires sur un espace vectoriel à n dimensions constituent un espace vectoriel à ${n}^{2}$ dimensions.

Note 3 à l'article: Le concept de forme bilinéaire se généralise à celui de «forme linéaire» dans le cas d'un seul vecteur et de «forme multilinéaire» (ou m-linéaire) dans le cas d'un ensemble ordonné de m vecteurs.

de
Bilinearform, f

es
forma bilineal

ko
쌍선형형식
쌍1차형식

ja

 nl BE bilineaire vorm, m

pl
forma dwuliniowa
forma biliniowa

pt
forma bilinear

sr
билинеарна форма, ж јд

sv
bilinjär form

zh