${\displaystyle f\left(t\right)+\text{j}g\left(t\right)=f\left(t\right)-\frac{\text{j}}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{f\left(t\right)}{\tau -t}}\text{d}\tau }$

Note 1 – The real part f(t) of an analytic signal is the opposite of the Hilbert transform of the imaginary part g(t).

Note 2 – If it exists, the complex Fourier transform of an analytic signal is zero for all negative frequencies so that, for instance, the analytic signal can be used to represent a single sideband modulated signal.

${\displaystyle f\left(t\right)+\text{j}g\left(t\right)=f\left(t\right)-\frac{\text{j}}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{f\left(t\right)}{\tau -t}}\text{d}\tau }$

Note 1 – La partie réelle f(t) d'un signal analytique est la transformée de Hilbert changée de signe de la partie imaginaire g(t).

Note 2 – Si elle existe, la transformée de Fourier complexe d'un signal analytique est nulle pour toutes les fréquences négatives de sorte que le signal analytique peut être employé pour représenter un modulat à bande latérale unique.